李天意

B站学习区知名UP主，本硕毕业于南京理工大学（武器发射工程与兵器发射理论专业），香港大学教育学博士研究生。具有8年高等数学教学经验，教学理念主张通俗易懂、学以致用，重塑学生学好数学的信心。制作B站爆款高等数学教程视频，视频播放量超2000万次，全网粉丝100余万。曾获全国大学生数学建模竞赛国家级二等奖、国家奖学金、南京理工大学校长奖章等奖项。

姜海景

硕士毕业于南京师范大学数学系。曾获无锡市科学技术进步奖二等奖，参与国家自然科学基金项目，南京航空航天大学学生网评最受欢迎老师之一。移居香港后，创办国际著名期刊《Knowledge Management & E-Learning》（JCR 2023：Impact Factor 2.5，教育学和教育研究，1区；Scopus 2023：CiteScore 4.7，教育，1区）。现为该期刊编辑部主任，兼香港大学的知识管理与数位化学习实验室（KM&EL Lab）高级顾问。

前言

你好，非常高兴我们在这里相遇。我们将从此开启一段精彩的旅程。

2022年，我和姜海景老师开始构思写作这本微积分教材。历时两年有余，初稿方才完成。在整个编写过程中，我们秉持这样一种理念： 写一本既有趣又有用的数学教材。相比于直接将各项公式和定理逐一罗列出来，我们希望你先了解背景问题，在探讨 “学什么”之前，先明白“为何要学”； 比起教授知识，我们更期待能和你一起在解决问题的过程中发现知识。以怎样的目的和方式去接触知识，决定了知识所产生的价值。你理解的内容越多，需要你去记忆的内容也就越少。

在这里，微积分不再是一堆抽象的符号和公式，而是你探索现实世界的强大工具。我们相信数学之美在于它的实用性，而微积分正是连接数学与生活的最佳桥梁。本书会从你熟悉的具体问题出发，无论是物理中的运动规律，还是经济领域的价格波动，都能让你在学习过程中感受到微积分的实际意义。你会发现，微积分不仅仅是课堂上的理论，它还能帮助你解决生活中的难题，甚至改变你看待世界的方式。在本书中，除了传统的解析方法，我们还会带你走进数值计算和编程代码的世界，拓展思维的边界。当你将来学习更加深入的专业课程（如大学物理、流体力学、信号系统等），或者成为一名工程师去建构一个复杂的系统时，你会更加轻松自如、享受其中，这也是我们创作这本书的一个重要目的。

本书在编写时注重体现以下3个特点：

（1） 深入浅出，生动讲解。化繁为简，突出重点，力求用通俗易懂的图文内容，帮助读者高效地把握微积分的核心思想，引导学生形成学习微积分的兴趣与热情。

（2） 应用导向，结合实际。基于工业生产以及日常生活中的具体问题，探讨如何使用微积分原理思考和解决实际问题，培养学生构建数学模型的能力。

（3） 跨多学科，实战检验。融合多个科目，包括高等数学、数值方法、大学物理等内容，就是为了打破理论与应用之间的壁垒，让读者能够学有所得、得有所用。

让我们一起踏上这段旅程吧！愿这本书能点燃你对数学、对真理的热情，成为你终身学习的起点。

如果你不介意的话，给你讲讲我的故事吧。时间回到2016年我刚考进大学，体会到大学生活原来没有想象中轻松。第一学期结束，看到考试成绩我傻眼了，“高等数学”（微积分）这门课只考了78分，这实在是一个不太理想的分数。看着身边的同学从容地收拾行李回家过年，我在心里只感到深深的失落，我不禁怀疑自己是否太愚笨了。那年寒假，我找了很多有关这门课的书和资料，把自己关在房间里，重新学习这门课，窗外的鞭炮声、热闹的集市等这些与我都没有关系。而就从这个过程中我才逐渐发现微积分的奥妙： 当我不只是满足于记住一些解题的套路方法，而是去探索它们的原理，这时候一条条定理公式在我眼里开始鲜活起来，看似复杂的知识体系其背后的核心思想竟如此简明。有时我甚至能感受到发明它的人心里该有多么高兴和激动。也是从这一刻起，我才真正爱上学习、探索，而这份快乐与考试取得多少分数没有关系。

我希望能够把这种快乐传递给更多人，尤其是看到许多人对这门课感到困惑、颓丧，我真切地觉得自己应该做点什么。从大二开始，每逢期末考试临近，我就在学校里给大一新生开公益讲座，帮助他们去理解这些内容。那段时间既要开讲座，又要复习准备自己的期末考试，熬通宵是常有的事情。现在回想起那段日子，却丝毫不觉得辛苦，尽是快乐和充实。我想，当人走上自己选择的道路时，必然能有血有肉、充满激情地活着。2019年，我开始把讲座视频上传到哔哩哔哩（bilibili）网站，随着时间的累积，承蒙大家厚爱，获得了上千万次的播放量。这也奇迹般地改写了我人生的轨迹——从曾经一个标准的工科生，到现在成为一名教育学的博士研究生。

改变我们命运的契机有很多，可能是一次不经意间的抬头，可能是一场彻夜长谈，也可能是一个考砸的分数……这些奇遇会引导我们走进未曾设想的故事，只要你仍怀揣希望与好奇，那么生命的曲线总归是昂扬向上的。希望你能勇敢地听到自己内心的声音，捕获属于自己的火花。

勇气，是自由的序章。

李天意2025年6月

目录

第1章基础数学知识

1.1基本函数

1.1.1幂函数

1.1.2指数函数

1.1.3对数函数

1.1.4三角函数

1.1.5反三角函数

1.1.6反函数

1.2常用代数等式

1.3有理分式化简

1.3.1假分式转换

1.3.2分母分解

1.4极坐标

第2章极限： 数列极限和函数极限

2.1极限的基本概念

2.1.1数列极限

2.1.2函数极限

2.2无穷大与无穷小

2.2.1基本概念

2.2.2比值运算规律

2.3两个特殊极限

2.3.1关于sinx的极限

2.3.2关于自然常数e的极限

2.4函数的连续性与间断点

2.5结语

第3章微分与导数

3.1导数的基础概念与运算

3.1.1变化率与导数

3.1.2导数基本运算

3.1.3其他形式函数的导数计算

3.1.4特殊情形的导数

3.2导数基本应用

3.2.1函数的单调性与极值点

3.2.2函数的凹凸性与拐点

3.2.3洛必达法则

3.3微分运算及其应用

3.3.1微分基本运算规则

3.3.2相关变化率

3.4超越方程与牛顿迭代法

3.5结语

第4章积分： 不定积分与定积分

4.1不定积分(原函数)

4.1.1基础原函数公式

4.1.2凑常数积分法： (ax+b)当作整体

4.1.3凑导数积分法： “函数+导数”组合

4.1.4有理分式积分： 两次简化，四种类型

4.1.5换元积分法： 消除根号

4.1.6分部积分法： 不同函数乘积

4.2定积分

4.2.1牛顿莱布尼茨公式

4.2.2定积分的运算规则

4.3应用一： 几何问题中的定积分应用

4.3.1旋转体体积

4.3.2曲线弧长

4.4应用二： 物理问题中的定积分应用

4.4.1变力做功问题

4.4.2转动体的动能问题

4.5拓展： 数值积分

4.6结语

第5章微分方程

5.1微分方程的基本概念

5.2一阶微分方程

5.2.1分离变量法

5.2.2线性方程公式法

5.3二阶微分方程

5.3.1可降阶的微分方程

5.3.2线性齐次方程公式法

5.4物理问题中的微分方程

5.4.1导热问题

5.4.2简谐运动

5.5微分方程的数值方法

5.6结语

第6章空间向量与几何

6.1向量

6.1.1向量基础概念与运算

6.1.2向量点乘

6.1.3向量叉乘

6.2空间平面

6.3空间直线

6.4空间曲面

6.4.1球面

6.4.2锥面

6.4.3柱面

6.4.4椭圆抛物面

6.4.5双曲抛物面

第7章多元函数与微分

7.1多元函数基本概念

7.1.1多元函数的定义域

7.1.2多元函数的图像

7.1.3多元函数的极限与连续性

7.2偏导数

7.3全微分

7.4方向导数与梯度

7.5多元函数的极值问题

7.5.1无条件极值问题

7.5.2有条件极值问题

7.6隐函数及导数

7.7几何应用

7.8结语

第8章重积分

8.1二重积分基础

8.1.1二重积分的概念

8.1.2二次积分与运算

8.2二重积分的极坐标

8.3重积分的应用

8.3.1非均匀薄板的质量与质心

8.3.2物体转动时的动能

8.4结语

第9章无穷级数

9.1常数项级数

9.1.1正项级数

9.1.2交错级数

9.2幂级数

9.2.1收敛半径、收敛区间

9.2.2泰勒级数

9.3傅里叶级数

9.3.1基本公式

9.3.2三角函数的正交性

9.4结语