目录
第二版前言
**版前言
第1章 微分流形 1
§1.1 流形的定义和例子 1
§1.2 子流形8
§1.3 单位分解 16
§1.4 切空间和切映射 25
§1.5 Sard定理及应用33
§1.6 Lie 群初步 39
第2章 流形上的微积分 47
§2.1 切丛和切向量场 47
§2.2 可积性定理及应用 56
§2.3 向量丛和纤维丛 63
§2.4 张量丛.70
§2.5 微分形式 76
§2.6 带边流形 88
§2.7 Stokes积分公式 91
第3章 流形的几何 99
§3.1 度量回顾 99
§3.2 联络105
§3.3 *率113
§3.4 联络和*率的计算 120
§3.4.1 活动标架法 121
§3.4.2 正规坐标 126
§3.5 子流形几何 130
§3.5.1 第二基本形式 130
§3.5.2 活动标架法 132
§3.5.3 极小子流形 134
§3.5.4 黎曼淹没 141
§3.6 齐性空间 145
§3.6.1 Lie 群和不变度量 145
§3.6.2 齐性空间 148
§3.6.3 对称空间 151
§3.7 Gauss-Bonnet-Chern公式 157
§3.7.1 向量场的指标 158
§3.7.2 单位球丛上的计算 161
§3.8 Chern-Weil理论167
§3.9 主丛简介 176
§3.9.1 主丛上的联络和*率 176
§3.9.2 主丛上的Chern-Weil理论 183
第4章 流形的上同调 189
§4.1 de Rham 上同调回顾 189
§4.2 映射度回顾 195
§4.3 de Rham上同调群的计算.204
§4.3.1 群作用与上同调 204
§4.3.2 Mayer-Vietoris正合序列 210
§4.4 Thom 类和相交数 217
§4.4.1 Thom类 217
§4.4.2 相交数 222
§4.5 Hodge理论.227
§4.5.1 Hodge星算子 228
§4.5.2 Bochner技巧 233
§4.6 Dirac 算子 240
§4.6.1 Clifford代数 240
§4.6.2 Clifford丛 249
第5章 流形上的椭圆算子 256
§5.1 Sobolev空间 256
§5.2 Hodge定理的证明 262
§5.3 热方程与热核 270
§5.4 迹与指标公式 281
§5.5 指标公式的证明 288
§5.5.1 Dirac算子的指标公式 288
§5.5.2 谐振子 293
§5.5.3 Atiyah-Singer指标公式 296
参考文献 302
索引 304