Mark C. Chu-Carroll　拥有Delawre大学博士学位，目前在Spotify担任数据基础架构软件工程师，之前曾在Google、Twitter担任高级软件工程师。他一直从事编程语言和软件开发工具方面的研究工作，有超过20年的从业经验。他感兴趣的领域包括协同软件开发、 编程语言和工具，以及如何改善软件开发者的日常生活。业余时间，他是Scientopia.org的管理者和开发者，并撰写了博客Good Math/Bad Math，你可以通过http://scientopia.org/blogs/goodmath访问他的博客。

如果你曾经对黄金比例、图灵机或者为什么圆周率永远算不完感到好奇，那么这本书就是为你准备的.....

前言这本书来自哪里在成长过程中，我对父亲最早的记忆是数学。我爸爸是一位物理学家，他在RCA公司做半导体制造，所以他的工作涉及很多数学知识。周末他有时会带着一些未完成的工作回家。他会坐在我们家的客厅里，身边散落着一堆纸张和他那把可靠的计算尺。

作为一个极客小孩，我认为他做的东西看起来很酷，我问他相关的一些事情。当我这样做的时候，他总是停下手上的工作，向我解释。他是个了不起的老师，我从他那里学到了很多数学知识。在我上三年级的时候，他就教给我贝尔（钟形）曲线、标准差和线性回归的基本知识！直到我上大学之前，我在学校的数学课上从来没有学过任何东西，因为在我上课之前，我爸爸已经教给我更多的数学知识。

他做的不仅仅是向我解释内容。他教我如何教书。他总是告诉我，在你向别人解释某事之前，你自己不会真正明白它。所以他会让我把内容解释给他听，好像他不知道那些似的。

那些和爸爸在一起的时光奠定了我对数学的热爱之情，并且一直持续了几十年。

大约在2006年，我开始读科学博客。我觉得这些博客的内容真的很吸引人，真的令人激动。但我不认为我有什么话可以引起别人的兴趣，所以我只是读别人写的，有时候做点评论。

然后有一天，我读了一个叫“Respectful Insolence”的博客，作者的笔名是Orac，是一名专业的肿瘤外科医生。他谈到几个怪人完成了一篇论文，他们从数据中得出了荒谬的结论，并将它发表在了公共数据库中。Orac精心地驳斥了他们的论点，解释为什么作者声称的基础医学和生物学是荒谬的。但在阅读原文后，令我印象深刻的是，反驳作者对生物的误解是不必要的，他们解释图形数据的整个论断完全是虚假的。那时候我意识到，存在大量的生物学家、医生、神经病学家、生理学家、物理学家的博客，并且各有特点，但是没有一个博客是关于数学的！

于是我去Bolgger网站创建了一个博客。我写了我对草率数学的批判，然后把链接发送给Orac。我想可能会有几十人来读它，我可能会在几个星期后放弃它。

但是，我在我的新博客上发表了第一篇文章之后，我就想起了我的爸爸。他是那种不喜欢花时间取笑别人的人。偶尔做这件事很好，但要把整个爱好都放弃呢？他是不会引以为傲的。

记得他教我的方法，我开始写我喜欢的那种数学，努力帮助其他人看到为什么它是如此美丽、如此有趣、如此迷人。最终的结果是我的博客——Good Math/Bad Math。我写博客已经快七年了，现在我的文章数以千计！

当我开始写博客的时候，我想没人会对我说的话感兴趣。我想我可能会被几十人读到，我会在几个星期后放弃。相反，几年后，我获得了成千上万的粉丝，他们阅读了我写的每一篇文章。

这本书是我接触更多读者的方式。数学是有趣的、美丽的、迷人的。我想与你分享乐趣、美丽和魅力。在这本书中，你会发现我和我爸爸一起度过的时光，他教我热爱数学，教我如何教别人。

我一直保留着他的计算尺。这是我最珍贵的财产之一。

读者对象如果你对数学感兴趣，这本书是给你的！我试着把它写出来，以便任何一个有高中数学基础的人都能阅读。具有更多的背景知识，你会发现更具深度的内容，但是即使你只学习了高中代数，也应该能读懂。

如何读这本书这不是一本需要你逐页阅读的书。每一章几乎都是独立的。你可以选择感兴趣的话题，按任意顺序阅读。在这本书的六部分中，各章将经常引用同一部分的前几章来介绍细节。如果你阅读参考章节，会从这些章节中得到更多知识，但如果你不喜欢，仍然可以读懂。

你需要做什么对于大部分书中内容，你只需要好奇心。在几章中，有几个程序。如果你想运行它们，程序中有链接和说明。

致谢感谢每个对这本书有贡献的人，总是很难。我确信我会忘记某人：如果你应该得到感谢，但我把你忘记了，我提前道歉，谢谢你的帮助！

非常感谢以下人士：

■我的“blogfather”和朋友Orac（又名David Gorski），开始的时候他给了我写博客的动机，并且帮助我引起读者的注意。

■我博客的许多读者，他们指出了我的错误，帮助我成为一个更好的作家。

■我在Scientopia的朋友们。

■献出时间和精力对这本书的草稿进行技术审校的人：Paul Keyser、Jason Liszka、Jorge Ortiz和Jon Shea。

■我在Foursquare的同事，他们给我支持和反馈，让工作成为一个有趣的地方。

■The Pragmatic Bookshelf的员工，尤其是David Thomas和David Kelly，他们超越职责地排版这本数学书。

■当然，还有我的家人，他们忍受着疯狂的极客作者。

目录

序

译者简介

前言

第一部分　数　　字

第1章　自然数　/2

1.1　自然数的公理化定义　/3

1.2　使用皮亚诺归纳法　/6

第2章　整数　/8

2.1　什么是整数　/8

2.2　自然地构造整数　/10

第3章　实数　/14

3.1　实数的非正式定义　/14

3.2　实数的公理化定义　/17

3.3　实数的构造性定义　/20

第4章　无理数与超越数　/23

4.1　什么是无理数　/23

4.2　聚焦无理数　/24

4.3　无理数和超越数有什么意义，为什么它们很重要　/26

第二部分　有趣的数字第5章　零　/30

5.1　零的历史　/30

5.2　一个令人生厌的困难数字　/33

第6章　e：不自然的自然数　/36

6.1　无处不在的数字　/36

6.2　e的历史　/38

6.3　e有什么含义　/39

第7章　φ：黄金比例　/41

7.1　什么是黄金比例　/42

7.2　荒唐的传奇　/44

7.3　黄金比例真正存在的地方　/46

第8章　i：虚数　/48

8.1　i的起源　/48

8.2　i是做什么的　/50

8.3　i有什么意义　/51

第三部分　书 写 数 字

第9章　罗马数字　/56

9.1　进位系统　/56

9.2　这场混乱来自哪里　/58

9.3　计算很简单（但是算盘更简单）　/59

9.4　传统的过失　/63第10章　埃及分数　/66

10.1　一场4000年前的数学考试　/66

10.2　斐波那契的贪婪算法　/67

10.3　有时美胜过实用　/69第11章　连分数　/70

11.1　连分数简介　/71

11.2　更干净，更清晰，纯粹是为了好玩　/73

11.3　作计算　/75

第四部分　逻　　辑

第12章　斯波克先生与不符合逻辑　/80

12.1　什么是真正的逻辑　/82

12.2　一阶谓词逻辑　/83

12.3　展示一些新东西　/88

第13章　证明、真理和树　/93

13.1　用树来建立简单的证明　/94

13.2　零基础的证明　/96

13.3　家族关系的例子　/98

13.4　分支证明　/100

第14章　使用逻辑编程　/103

14.1　计算家族关系　/104

14.2　使用逻辑计算　/109

第15章　时序推理　/118

15.1　随时间变化的命题　/119

15.2　CTL擅长什么　/124

第五部分　集　　合

第16章　康托尔对角化：无穷不仅是无穷　/128

16.1　朴素的集合　/128

16.2　康托尔对角化　/132

16.3　不要保持简单和直接　/136

第17章　公理化集合论：取其精华，去其糟粕　/139

17.1　ZFC集合论公理　/140

17.2　疯狂的选择　/147

17.3　为什么　/150

第18章　模型：用集合作为搭建数学世界的积木　/151

18.1　构建自然数　/152

18.2　从模型到模型：从自然数到整数，以及超越　/154

第19章　超限数：无限集的计数和排序　/158

19.1　超限基　/158

19.2　连续统假设　/160

19.3　无限何在　/161

第20章　群论：用集合寻找对称性　/164

20.1　费解的对称性　/164

20.2　不同的对称性　/168

20.3　走入历史　/170

20.4　对称性之源　/172

第六部分　机械化数学

第21章　有限状态机：从简单机器开始　/178

21.1　最简单的机器　/178

21.2　实际使用的有限状态机　/182

21.3　跨越鸿沟：从正则表达式到机器　/185

第22章　图灵机　/192

22.1　添加磁带让一切都变得不同　/193

22.2　变元：模仿机器的机器　/198

第23章　计算的核心与病态　/204

23.1　BF：伟大的、光荣的、完全愚蠢的　/206

23.2　图灵完备还是毫无意义　/209

23.3　从庄严到荒谬　/210

第24章　微积分：不是那个微积分，是λ演算　/213

24.1　写λ演算：几乎就是编程　/214

24.2　求值：运行　/218

24.3　编程语言与λ策略　/221

第25章　数字、布尔运算和递归　/224

25.1　λ演算是图灵完备的吗　/224

25.2　计算自身的数字　/225

25.3　决定？回到Church　/228

25.4　递归　/231

第26章　类型，类型，类型：对λ演算建模　/238

26.1　类型简介　/239

26.2　证明　/244

26.3　类型擅长什么　/246

第27章　停机问题　/248

27.1　一个杰出的失败　/249

27.2　是否停机　/251

参考文献　/256